Le logo DVD touchera-t-il un jour le coin ?

Publié le 4 août 2026

Tous ceux qui ont regardé un économiseur d’écran DVD se sont posé la même question : est-ce qu’il va toucher le coin, ou est-ce que je perds mon temps ?

La question a une réponse exacte. Ni une probabilité ni une moyenne : une réponse que l’on peut calculer à l’avance à partir de quatre choses : la taille de l’écran, la taille du logo, sa vitesse et son point de départ. Voici comment, en trois étapes.

Étape un : l’écran est plus petit qu’il n’y paraît

Commençons par ce qui rebondit vraiment. Le logo est un rectangle, pas un point : ce qui voyage, c’est son coin supérieur gauche, et ce coin ne peut jamais atteindre le bord droit de l’écran, puisque le reste du logo est dans le passage. Sa marge de manœuvre, c’est l’écran moins le logo.

Ajoutons maintenant la vitesse. Le logo se déplace d’un nombre fixe de pixels à chaque image — quatre, en général — donc il ne peut se poser que sur un pixel sur 4 de cette plage. Les pixels intermédiaires ne sont pas rares : ils sont inatteignables.

Supprimez-les et le tableau change du tout au tout. À gauche ci-dessous, chaque croisement est un pixel et seuls les points cyan peuvent accueillir le logo. À droite, ces mêmes points cyan tout seuls.

Ce qui reste, c’est la grille où le problème vit réellement, et sa taille est simplement :

• X = (largeur de l’écran − largeur du logo) ÷ vitesse
• Y = (hauteur de l’écran − hauteur du logo) ÷ vitesse

Un écran 3840 × 2160 portant un logo de 176 × 80 à 4 pixels par image n’est donc pas un problème à quatre millions de pixels. C’est un problème en 916 × 520.

Voilà toute la réduction. N’importe quel écran, n’importe quel logo, n’importe quelle vitesse : un point qui avance en diagonale sur une grille X par Y, une case à la fois. Ces deux nombres décident de tout le reste.

Étape deux : un seul nombre décide si cela arrivera

Voici ce qui prend les gens de court. Qu’un coin soit un jour atteint ne dépend pas de votre patience. C’est réglé avant la première image.

Voici pourquoi. Oubliez les coins un instant et regardez seulement les bords. En avançant en diagonale sur une grille X par Y, le logo touche un bord gauche ou droit toutes les X images, comme une horloge, et un bord haut ou bas toutes les Y images. Le rebond ne dérange jamais ces rythmes, parce que le rebond est le rythme : c’est ce que veut dire toucher un bord.

Un coin n’est rien d’autre que les deux réveils qui sonnent sur la même image.

La question cesse donc d’être géométrique pour devenir une question de deux réveils périodiques : sachant où chacun en est dans son cycle, sonneront-ils un jour ensemble ? Deux réveils ne peuvent coïncider que si l’écart entre leurs premières sonneries est un multiple de ce que leurs périodes ont en commun. Et ce que X et Y ont en commun, c’est leur plus grand commun diviseur.

C’est tout le test. Prenez PGCD(X, Y). Si le logo est parti vers le bas et la droite, il atteint un coin seulement quand ce diviseur divise la différence de ses coordonnées de départ ; s’il est parti vers le haut et la droite, seulement quand il divise leur somme. Sinon les deux réveils restent décalés à jamais, et laisser tourner plus longtemps ne répare pas un rythme.

Deux cases de départ voisines, sur la même grille 12 × 8, où PGCD(12, 8) = 4. Depuis (0, 4) la différence vaut 4, un multiple net, et les réveils s’alignent. Depuis (1, 4) la différence vaut 3, et ils ne s’aligneront jamais.

Il en sort une règle applicable à vue d’œil : environ une case de départ sur PGCD fonctionne.

• PGCD = 1

  Toutes les positions de départ atteignent un coin. Toutes, garanti.

• PGCD = 2

  Une sur 2. La moitié sont sans espoir.

• PGCD = 3

  Une sur 3.

• PGCD = 4

  Une sur 4.

• PGCD = 6

  Une sur 6, soit moins de 17 %.

• PGCD = 12

  Une sur 12. Plus de 91 % ne mènent nulle part.

Et cela se sent en pratique. La grille 916 × 520 de l’étape un a un PGCD de 4 : sur cette configuration, trois quarts des positions de départ sont perdues avant que le logo ait bougé une seule fois.

Alors si vous fixez un économiseur d’écran depuis une heure sans rien voir venir, ce n’est peut-être pas la malchance. C’est peut-être une boucle qui, mathématiquement, ne peut rien vous donner.

Étape trois : un coin inverse tout

Un dernier fait, et c’est celui dont dépend la conclusion.

Un rebond ordinaire ne change que la moitié du mouvement. Heurtez le mur de droite en allant vers le bas et la droite : le signe horizontal s’inverse et le logo part vers le bas et la gauche. La moitié verticale continue intacte, si bien que le logo progresse encore sur un terrain qu’il n’avait pas parcouru.

Un coin inverse les deux signes d’un coup. Bas-droite devient haut-gauche : pas une nouvelle direction, mais exactement l’opposé de celle par laquelle il est arrivé. Or nier les deux moitiés d’une vitesse revient à appuyer sur rembobinage.

Et c’est très exactement ce qui se produit. Chaque case franchie à l’aller, le logo la refranchit au retour, dans l’ordre inverse. Chaque rebond effectué, il le refait à l’envers. Le trajet est un palindrome.

Un logo qui rebondit n’est donc pas une ligne agitée qui finira par passer partout si on lui laisse le temps. C’est un circuit fermé aller-retour avec un point de retournement à chaque extrémité, et ces points de retournement sont des coins.

Nous y reviendrons à la fin, car cela tranche définitivement la question des quatre coins.

Combien de temps entre deux coins

Les deux réveils de l’étape deux ne disent pas seulement si un coin sera touché. En tirant un peu le fil, ils disent à quelle fréquence.

Une fois qu’ils ont sonné ensemble, quand peuvent-ils recommencer au plus tôt ? Pas avant qu’un nombre entier de cycles X se soit écoulé, ni avant qu’un nombre entier de cycles Y se soit écoulé aussi. Le premier instant qui est multiple à la fois de X et de Y est, par définition, leur plus petit commun multiple. Il n’y a rien d’autre à calculer.

• Pour un départ qui fonctionne, un coin est touché toutes les PPCM(X, Y) images, exactement, sans jamais dériver
• Et tout trajet, qu’il atteigne un coin ou non, se referme sur lui-même toutes les 2 × PPCM(X, Y) images : aller jusqu’à un point de retournement, puis retour, exactement comme le décrivait l’étape trois

Prenons la vidéo 4K à 60 ips que tout le monde partage. Son logo dispose de 317 positions horizontales et 186 verticales, donc X = 316 et Y = 185. Ces deux nombres sont premiers entre eux — un PGCD de 1 — ce qui, d’après l’étape deux, signifie que toutes les positions de départ de cet écran fonctionnent. Et PPCM(316, 185) vaut tout simplement 316 × 185 = 58 460 images : 16 minutes, 14 secondes et 20 images.

Pourquoi votre résolution ne compte presque pas

On vous répétera « 16 minutes 14 secondes » comme si cela découlait de la 4K à 60 ips. Ce n’est pas le cas. Regardez de quoi la réponse est réellement faite :

La résolution déplace X et Y, et elle les déplace doucement : doubler l’écran double à peu près chacun. Mais le PGCD se trouve au dénominateur, et un PGCD n’est pas une taille. C’est un accident portant sur les nombres qui partagent des facteurs, et il peut bondir de 1 à 127 entre deux configurations qui semblent identiques.

Voici ce que cela donne. Le même logo de 284 × 128 aux mêmes 4 pixels par image, sans rien changer d’autre que l’écran :

• 1080p

  Grille 409 × 238. Ils ne partagent rien, donc le PPCM vaut le 409 × 238 entier : un coin touché toutes les 27 minutes.

• 4K

  Grille 889 × 508. Ils partagent un facteur 127, qui disparaît à la division : toutes les 59 secondes.

Quatre fois plus de pixels, et l’attente est devenue 27 fois plus courte. C’est l’inverse de ce qu’on raconte d’habitude, et cela n’a rien à voir avec la taille de la 4K : c’est parce que 889 et 508 partagent 127, tandis que 409 et 238 ne partagent rien.

La taille du logo fait la même chose, avec la même brutalité. Gardez l’écran en 3840 × 2160 et la vitesse à 4 pixels par image, conservez les proportions réelles du logo et ne changez que sa taille :

• logo de 176 px

  Grille 916 × 520. Un coin touché toutes les 33 minutes et 5 secondes, depuis une position sur 4.

• logo de 204 px

  Grille 909 × 517. Toutes les 2,18 heures, mais depuis tous les départs sans exception.

• logo de 256 px

  Grille 896 × 511. Redescend à 18 minutes et 10 secondes, depuis une position sur 7.

• logo de 284 px

  Grille 889 × 508, qui partagent un facteur 127. Toutes les 59 secondes.

• logo de 292 px

  Grille 887 × 507, premiers entre eux. Remonte à 2,08 heures.

• logo de 300 px

  Grille 885 × 506. Toutes les 2,07 heures. Aucune tendance : cela saute.

Même écran, même fréquence d’images, même vitesse. Huit pixels de largeur de logo font la différence entre une minute d’attente et deux heures : un bond d’un facteur 127, parce que 889 et 508 partagent un facteur 127 alors que 887 et 507 ne partagent rien du tout. Et remarquez que la suite ne suit aucune tendance. Elle n’a aucune raison de le faire : elle suit des diviseurs, pas des dimensions.

La réponse n’est donc pas gouvernée par la taille de quoi que ce soit. Modifiez le moindre réglage et l’arithmétique se réorganise de zéro.

Alors, combien de temps pour les quatre coins ?

Ce qui nous amène à la question que les gens veulent vraiment voir traitée. Si un coin prend seize minutes, les quatre devraient prendre environ une heure. Non ?

Non. Vous ne le verrez jamais : ni en une heure, ni en un an, ni en le laissant tourner jusqu’à la mort thermique de l’univers.

L’étape trois nous a déjà donné la raison. Un coin ne dévie pas le logo, il l’inverse : le logo remonte donc son propre chemin jusqu’à un deuxième coin, s’inverse de nouveau et revient. C’est un circuit fermé comportant exactement deux points de retournement. Les deux autres coins ne sont ni lointains ni improbables. Ils ne sont tout simplement pas sur le trajet, et rien dans le système ne pourrait les y mettre.

Et lesquels des deux vous obtenez n’est pas non plus une affaire de chance. Comme tout le reste ici, cela a été fixé par la case de départ.

La réponse honnête à « combien de temps pour les quatre coins ? » n’est donc pas un nombre. Il n’y a pas d’attente, parce qu’il n’y a aucun événement à attendre — et c’était réglé avant que le logo ait terminé son premier rebond.

Essayez vous-même

Notre simulateur est le moyen le plus rapide de se faire une idée du rebond, avec une réserve qu’il faut dire : il lance chaque logo selon un angle aléatoire compris entre 25° et 65°, et non selon un 45° fixe. C’était un choix délibéré — le rendu est plus joli et les trajectoires restent intéressantes — mais cela implique que les coins y sont touchés selon leur propre logique, et non selon l’arithmétique nette de la grille exposée plus haut. Cette arithmétique nette appartient au cas de la diagonale parfaite : les lecteurs DVD d’origine et la vidéo que nous avons mesurée.

Ce que vous pouvez faire, c’est modifier toutes les variables sur lesquelles repose cet article et observer leur effet sur le rebond. Réglez la vitesse et l’échelle, augmentez le nombre d’objets pour lancer plusieurs logos sur des trajectoires différentes en même temps, et faites tourner le format d’image entre 16:9, 9:16 et 1:1 — chacun étant un problème de forme différente.

Exportez ensuite en GIF, en MP4 ou WebM jusqu’à 1080p, ou en fichier HTML autonome qui tourne en boucle indéfiniment sans connexion internet — si vous voulez en laisser un tourner et voir un coin touché de vos propres yeux.

Sans filigrane, sans compte, sans frais. Votre image est traitée par votre propre navigateur et n’est envoyée nulle part.

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